Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ½x + 4 dan kurva y = x²+ 1
# banjir quiz poin besar akhir tahun #
Luas daerah yang dibatasi oleh [tex]y=\frac{1}{2}x+4~dan~y=x^2+1[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\frac{343}{48}~satuan~luas} }[/tex].
PEMBAHASAN
Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.
[tex]\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}[/tex]
Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :
[tex](i)~\displaystyle{\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C},~~~dengan~C=konstanta[/tex]
[tex](ii)~\displaystyle{\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx}[/tex]
[tex](iii)~\displaystyle{\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx}[/tex]
[tex](iv)~\displaystyle{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)}[/tex]
Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 kurva f(x) dan g(x), dimana :
[tex]\displaystyle{L=\int\limits^b_a {[f(x)-g(x)]} \, dx }[/tex]
.
DIKETAHUI
Daerah dibatasi oleh [tex]y=\frac{1}{2}x+4~dan~y=x^2+1[/tex]
.
DITANYA
Tentukan luas daerahnya.
.
PENYELESAIAN
Kita cari dahulu titik potong kedua kurva.
[tex]y=y[/tex]
[tex]x^2+1=\frac{1}{2}x+4~~~...kedua~ruas~dikali~2[/tex]
[tex]2x^2+2=x+8[/tex]
[tex]2x^2-x-6=0[/tex]
[tex](2x+3)(x-2)=0[/tex]
[tex]x=-\frac{3}{2}~atau~x=2[/tex]
Batas luas daerahnya dari x = [tex]-\frac{3}{2}[/tex] sampai x = 2. Maka luas daerahnya :
[tex]\displaystyle{L=\int\limits^{b}_{a} {(y_1-y_2)} \, dx }[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\int\limits^2_{-\frac{3}{2}} {\left ( \frac{1}{2}x+4-x^2-1 \right )} \, dx }[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\int\limits^2_{-\frac{3}{2}} {\left ( -x^2+\frac{1}{2}x+3 \right )} \, dx }[/tex]
[tex]\displaystyle{L=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2+3x\Bigr|^2_{-\frac{3}{2}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\left [ -\frac{1}{3}(2)^3+\frac{1}{4}(2)^2+3(2) \right ]-\left [ -\frac{1}{3}\left ( -\frac{3}{2} \right )^3+\frac{1}{4}\left ( -\frac{3}{2} \right )^2+3\left ( -\frac{3}{2} \right ) \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\frac{13}{3}+\frac{45}{16} }[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\frac{343}{48}~satuan~luas }[/tex]
.
Luas daerah tertutup antara parabola dan garis dapat dicari juga menggunakan rumus [tex]\displaystyle{L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}}[/tex].
[tex]y=y[/tex]
[tex]x^2+1=\frac{1}{2}x+4[/tex]
[tex]x^2-\frac{1}{2}x-3=0\left\{\begin{matrix}a=1\\ \\b=-\frac{1}{2}\\ \\c=-3\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]D=b^2-4ac=\left ( -\frac{1}{2} \right )^2-4(1)(-3)=\frac{49}{4}[/tex]
.
Maka luasnya :
[tex]\displaystyle{L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\frac{\frac{49}{4}\sqrt{\frac{49}{4}}}{6(1)^2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\frac{\frac{49}{4}\times\frac{7}{2}}{6}}[/tex]
[tex]\displaystyle{L=\frac{343}{48}~satuan~luas}[/tex]
.
KESIMPULAN
Luas daerah yang dibatasi oleh [tex]y=\frac{1}{2}x+4~dan~y=x^2+1[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\frac{343}{48}~satuan~luas} }[/tex].
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Mencari luas daerah kurva : https://brainly.co.id/tugas/30206361
- Mencari laus daerah kurva : https://brainly.co.id/tugas/30113906
- Integral fungsi : https://brainly.co.id/tugas/28868212
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Integral
Kode Kategorisasi: 11.2.10
Kata Kunci : integral, luas, daerah, kurva.
Jawaban:
7 7/48 satuan luas
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Batas atas dan batas bawah:
y1 = y2
1/2x + 4 = x² + 1
x² + 1 - 1/2x - 4 = 0
x² - 1/2x - 3 = 0
2x² - x - 6 = 0
(2x + 3)(x - 2) = 0
jadi, 2x + 3 = 0, x = -3/2
x - 2 = 0, x = 2
Luas = integral 2, -3/2 dari 1/2x + 4 - (x² + 1) dx
= integral 2, -3/2 dari -x² + 1/2x + 3 dx
= [ -1/3x³ + 1/4x² + 3x] -2, 3/2
= [ -1/3(-3/2)³ + 1/4(-3/2)² + 3(-3/2)]
- [ -1/3(2)³ + 1/4(2)² + 3(2)]
= [9/8 + 9/16 - 9/2] - [-8/3 + 1 + 6]
= (18+9-72)/16 - (-8+21)/3
= -45/16 - 13/3
= (-135 - 208)/48
= -343/48
Luas = | -343/48 |
= 343/48
= 7 7/48 satuan luas
[answer.2.content]
